Matriks dan Determinan

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

                   Penggunaan Matematika dalam Ekonomi. Fakta, hakekatnya merupakan besaran-besaran, yang diterjemahkan berupa persamaan, bentuk-bentuk fungsional, atau persamaan differensial. 2 pendekatan dalam penyelesaian masalah ekonomi: analisis matematis dan analisis non matematis. Contoh kasus analisis matematis, dalam memulai kegiatan forex trading pada hari X, saya biasa menggunakan analisis regresi sederhana dengan menggunakan data terbaru pada malam hari sebelumnya. Jadi masalah ekonomi dalam hal pergerakan valuta asing dapat pula dianalisis dengan analisis regresi sederhana. Sedangkan team saya melakukan analisis non matematis dengan melihat pergerakan kebijakan pemerintah dan Bank Indonesia dalam menghadapi masalah moneter.

 

B. Rumusan Masalah

1.      Pengertian matriks dan operasinya

2.      Pengertian determinan matriks

3.      Pengertian invers

4.      Manfaat matriks dalam bisnis

BAB II

PEMBAHASAN

A.  Pengertian Matriks

Matriks adalah salah satu susunan bilangan dalam bentuk  persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Dan tanda kurung digunakan untuk menunjukkan suatu bentuk matriks.

     Syarat-syarat suatu matriks :

a.    Berbentuk persegi panjang dan ditempatkan didalam kurung

b.    Unsur-unsurnya terdiri dari bilangan-bilangan

c.    Mempunyai baris dan lajur/kolom

Contoh:

        4  1  3  0                   Baris 1

   2  6  8  1

   1  7  9  2

                   

                 

  Kolom 1

Matriks diatas terdiri dari 4 baris dan 3 kolom, atau matriks diatas berordo 3x4.

Secara umum matriks dinyatakan dengan :

B.  Macam-macam matriks

1.    Matriks Baris (vector baris)

Yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris, biasanya dinyatakan dengan huruf kecil.

Contoh: c (1  6  2)

2.    Matriks Kolom (vector kolom)

Contoh :      3

 B =             5

                    2

                    7    

3.    Matriks Bujur Sangkar (matriks kuadrat)

Yaitu matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama diagonal yang memuat unsure a11, a12,……ann dalam matriks bujur sangkar disebut diagonal utama.

 Contoh:

A =    1  2  4

          3  2  1        

          0  1  4    

4.    Matriks diagonal

Adalah matriks dimana semua unsure diluar diagonal utamanya sama dengan nol, sedangkan paling sedikit satu unsure pada diagonal pokoknya tidak sama dengan nol.

Contoh :

D =   2  0  0

         0  4  0

         0  0  6          

D =   1  0  0

         0  1  0

         0  0  1                

5.    Matriks Identitas

Yaitu, matriks yang unsure-unsur diagonal utamanya adalah 1 (satu) sedangkan unsure-unsur lainya adalah 0 (nol).

Contoh :

I =   1  0

        0  1

II =  1  0  0

        0  1  0

        0  0  1    

C.  Kesamaan Matriks

Matriks A dan B dikatakan sama jika :

·         A dan B mempunyai jumlah baris yang sama dan juga jumlah kolom yang sama.

·         Semua unsur yang seletak (bersesuaian) sama.

Contoh :

A =    1  2  4             B =     1  2  4

          3  2  1                        3  2  1

          0  1  4                        0  1  4

Jadi, A sama dengan B.

                                       

D.  Penjumlahan Matriks dan Pengurangan

Dua buah matriks dapat dijumlahkan dan/atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau orde yang sama.

Contoh :

 A =    2  1  0            B =    -4  3  5

         -1  0  2                       2  2  0     

Maka : A+B =   2  1  0   +   -4  3  5   =    -2  4  5

                        -1  0  2          2  2  0          1  2  2

                       A-B =   2  1  0    -    -4  3  5     =    6  -2  -5

                                  -1  0  2           2  2  0          -4  -2  2

E.   Perkalian Matriks dengan Bilangan

Suatu matriks A dan B  berlaku perkalian, jika dipenuhi syarat perkalian matriks, yaitu banyaknya kolom dari matriks A harus sama dengan banyaknya baris dari matriks B. Jika tidak demikian maka, perkalian tidak dapat dilakukan/.

Contoh :

 A =   1  3  4      B =   2  4

          3  2  5               3  6

1        3  

2         

 Tinjaun perkalian matriks A dan B. Karena A adalah ukuran matriks berukuran 2x3 dan B adalah matriks berukuran 3x2. Maka hasil kali AB adalah matrik 2x2. Perhatikan perhitungan perkalian berikut :

(1.2)+(3.3)+(4.1)= 15

(1.4)+(3.6)+(4.3)= 34

(3.2)+(2.3)+(5.1)= 17

(3.4)+(2.6)+(5.3)= 39

Jadi, diperoleh AB =   15  34

                                                17  39

F.   Transpose Matriks

Transpose dari suatu matriks dapat diperoleh dengan menukarkan unsure-unsur pada baris dan kolom, misalnya unsur pada baris pertama diubah menjadi unsur pada kolom pertama dan seterusnya.

Transpose dari matriks A dinyatakan dengan A’ atau At

Contoh :

1.      A =   2  4      transpose dari matriks A adalah  A’ =   2  3

  3  5                                                                  4  5

Ø  DETERMINAN

Determinan ialah nilai yang diperoleh dari matriks bujur sangkar A ( matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama ) yang dihitung dengan aturan tertentu, yang nilainya  bisa positif, nol atau negative. Matriks tidak bujursangkar tidak ada hitungan diterminananya [1]

ü  Determinan Matriks Yang Berdimensi 2x2 ( Determinan Orde Dua)

Diperoleh dengan cara mengalihkan dua unsur (elemen) pada diagonal utamanya. Dan dikurangi dengan hasil kali dua unsur (elemen ) pada diagfonal lainnya. Perlu dicatat hanya matriks kuadrat saja (matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama) yang memiliki determinan[2].

 

            A         =          a_{1 1}       a_{1 2}       = a_{1 1}.a_{2 2}-a_{1 2}.a_{2 1}

                                    a_{2 1}       a_{2 2}

Contoh:

hitunglah determinan dari matriks berikut ini:

 

            A =      6          4                      B=       4          6

                        7          9                                  6          9

Jawab:

            A         =          6          4          = 6(9)-7(4)= 26

                                    7          9

Karena determinan dari matriks A, A tidak sama dengan nol, maka matriks A adalah matriks non singular.

           

B         =          4          6          = 4(9)-6(6)= 0

                        6          9

Dari hasil perhitungan menunjukkan bahwa matriks B adalah matriks singular, karena nilai determinannya sama dengan nol ( B = 0).

ü  Determinan Matriks Yang Berdimensi 3X3 (Determinan Orde Tiga)

dihitung dengan aturan SARRUS, yakni dengan cara menempatkan dua kolom pertama dari determinan 3X3, lalu nilai determinan ini adalah jumlah hasil kali elemen pada tiap diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dikurangi dengan jumlah hasil kali elemen pada tiap diagonal sil kali elemen pada tiap diagonal dari kiri bawah ke kanan atas. Cara SARRUS ini hanya digunakan pada determinan 3X3[3].

                              a_{1 1}       a_{1 2}       a_{1 3}

      A         =          a_{2 1}       a_{2 2}       a_{2 3}        

                              a_{3 1}       a_{3 2}       a_{3 3}

= a_{1 1}. a_{2 2.} a_{3 3}+ a_{1 2}. a_{2 3}. a_{3 1}+ a_{1 3}. a_{2 1}. a_{3 2} – (a_{3 1}. a_{2 2}. a_{1 3}+ a_{3 2}. a_{2 3}. a_{1 1}+ a_{3 3}. a_{2 1}. a_{1 2})

Contoh:

            2          5          0                                              2          5          0          2          5

A =      3          8          4                      A         =          3          8          4          3          8

            6          7          1                                              6          7          1          6          7

A = (2X8X1+5X4X6+0X3X7)-(6X8X0+7X4X2+1X3X5)

A = 136-71

A = 65

ü  Sifat-Sifat Determinan

1.      suatu determinan nilainya tidak berubah jika suatu baris atau kolom ditambahkan dengan baris atau kolom lain.

2.      Jika suatu kolom atau baris dikalikan dengan skalar (K), maka nilai determinan akan menjadi (K) kali determinan semula.

3.      Jika salah satu baris atau kolom terdiri dari 0, maka nilai detrminannya sama dengan 0.

4.      Jika dua baris atau kolom sama pada determinan, maka nilai determinannya sama dengan 0.

5.      Jika sepasang baris atau kolom saling ditukarkan, maka nilai determinannya berubah tanda, seperti dari positif menjadi negatif atau sebaliknya.

6.      Determinan matriks satuan adalah satu

·         Invers Matriks

Matriks-matrikspersegi A dan B sedemikianhingga AB = BA = I maka A disebut invers B disebut B^-1 dansebaliknya B adalah invers A ditulis A^-1sehinggaberlakuAA^-1 = I = A^-1 A, dimana I matriksidentitas.

Invers matriks A dirumuskanA^-1 =  . Adj (A)

1.      Invers Matriksordo 2x2

Jika A = , maka A^-1= . Adj (A)

Contoh: A = , tentukan A^-1!

Jawab: det (A) = (5x2) – (3x3) = 1

G. PENGGUNAAN MATRIKS DALAM PERSOALAN BISNIS

Contoh 1

Suatu perusahaan mempunyai dua lokasi pabrik di Surabaya dan Sidoarjo, yang tiap minggu memproduksi 3 jenis barang A, B dan C yang dibuat dari bahan baku K, L dan M dengan komposisi yang sama dikedua pabrik ini, yakni tiap 1 unit barang A dibuat dari : 1 unit bahan baku K, 3 unit bahan baku L dan 2 unit bahan baku M, tiap 1 unit barang B dibuat dari  : 2 unit bahan baku K, 2 unit bahan baku L dan I unit bahan baku M, dan tiap 1 unit C dibuat dari : 1 unit bahan baku K, 2 unit bahan L dan 2 unit bahan baku M.

Tiap mingu pabrik di Surabaya memproduksi : 100 unit barang A, 200 unit barang B dan 250 untuk unit barang C, sedangkan disidoarjo diproduksi : 80 unit barang A, 120 unit barang B dan 200, unit barang C.

Jika harga baku K, L dan M tiap unit adalah Rp. 500, Rp. 800 dan Rp. 1000 sedangkan harga jual barang A, B dan C dipasaran Surabaya dan Sidoarjo adalah sama yakni : Rp. 3000, Rp. 5.000  dan Rp. 7.000 unit, maka :

a.       Tuliskan berapa matriks dan bentuknya yang ada dalam persoalan ini ?

b.      Hitunglah dengan operasi perkalian matriks jumlah bahan baku yang diperlukan ditiap pabrik Surabaya dan Sidoarjo.

c.       Hitunglah jumlah biaya, jumlah penjualan dan laba yang capai dengan operasi matriks di Surabaya dan Sidoarjo

Jawab

a.       Matriks-matrik dalam persoalan ini adalah :

Matriks komposisi bahan dan barang A, B, dan C

 

Q=    1   2   1

         3   2   2

         2   1   2

Matriks produk dari barang A, B dan C di Surabaya dan Sidoarjo :

 

            R=     100   80

                      200   120

                      250   200    

Matriks S yakni harga bahan baku K, L dan M tiap unit dan

Matriks T yakni harga jual barang A, B dan C tiap unit :

            S = ( 500   800   1000) dan T = (3000   5000   7000)

b.      Jumlah bahan baku yang dipakai di Surabaya dan Sidoarjo :

 

U = Q x R =    1   2   1             100    80               750      520

                     3   2   2      x     200    120      =     1200   880

                     2   1   2             250    200              900     680   

c.       Perhitungan Laba :

Dihitung  dulu jumlah biaya produk di Surabaya dan Sidoarjo :

 

D = S x U = (500   800   1000) x     750     520

                                                1200    880       =

                                                900      680      

                 (2. 235.000     1. 644.000 )

Dan hasil penjualan barang di Surabaya  dan Sidoarjo :

 

E = T x R = (3000   5000   7000 ) x    100   80

                                                     200   120   =

                                                     250   200       

               

     (3. 050. 000     2.240. 000)      

            Sehingga laba yang diraih di Surabaya dan Sidoarjo adalah :

            L = E – D = (3. 050.000    2. 240. 000) – (2. 235.000      1. 644.000)

                           =(815.000    596.000 )

BAB III

PENUTUP

            Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa matriks adalah Matriks adalah salah satu susunan bilangan dalam bentuk  persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Dan tanda kurung digunakan untuk menunjukkan suatu bentuk matriks. Macam-macam matriks adalah matriks baris, matriks kolom, matriks nol, matriks bujur sangkar, dll.

            Objek matriks dapat berupa bilangan real, kompleks, atau fungsi. Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut kolom.

a.       Operasi yang ada pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan determinan.

b.      Fungsi determinan dinotasikan dengan detA sebagai jumlah hasil kali elemnter bertanda A. Angka detA disebut determinan dari A atau determinant of A.

Matriks A transpose didapatkan dari matriks A dengan memindahkan elemen baris menjadi elemen kolom dengan meindahkan elemen kolom menjadi elemen baris.

Jika kita memiliki matriks A, maka matriks transpose dari A biasaditulis sebagai A^T

Matriks adjoint A, dinotasikan dengan k^T, adalah matriks yang elemennya terdiri dari elemen kofaktor A yang ditransposekan. K disebut matriks kofaktor.

DAFTAR PUSTAKA

Bumulo, Hussain, dkk. Matematika untuk Ekonomi dan Aplikasinya.2006. Surabaya: Bayumedia Publishing.

---

[1] Hussain Bumolo, Djoko, Matematika untuk Ekonomi dan Aplikasinya.(Malang Bayumedia publishing, 2005,2006) 88

[2] Noer, Ahmad, M. Suparmoko. Matematika Ekonomi. (Yogyakarta: BPFE, 2003). 110.

[3] Op. Cit., 88.